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Wittgenstein VII: simbolismo y forma lógica

Publicado por Esteban Galisteo Gámez

Una de las principales motivaciones del Tractatus era construir un simbolismo lógico que reflejara la forma lógica de las proposiciones con total claridad. Es por esto que, para Wittgenstein, ningún elemento de nuestro sistema de símbolos ha de ser arbitrario.

El problema de la pluralidad de conectivas

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Los sistemas lógicos presentados por Frege y Russell contenían una pluralidad de constantes lógicas. Frege utilizó el condicional y la negación y Bertrand Russell la disyunción y la negación. En esta pluralidad de constantes lógicas Wittgenstein veía un problema: como hemos dicho, un sistema lógico debe reflejar como un espejo la forma lógica y para cumplir este requisito es esencial que para cada operación lógica haya una, y no más, operaciones en nuestro simbolismo. En otras palabras, no deben haber en nuestro simbolismo varias operaciones “sinónimas”, que representen una misma operación lógica.

La barra de Sheffer

Wittgenstein encontró un modo de reducir todas las constantes del simbolismo a una sola. Se trata de la barra de Sheffer, que permite eliminar todas las constantes lógicas. Para ver cómo reduce las constantes, pondremos un ejemplo.

(1) ¬p (se lee: “no p”)

(2) p ˄ q (se lee: “p y q”)

(3) p ˅ q (se lee: “p o q”)

(1), (2) y (3) pueden ser reformuladas utilizando únicamente la barra de Sheffer.

(1′) p|p (se lee: “ni p ni p”)

(2′) (p|q)|(p|q) (se lee: “ni p ni q, ni, ni p ni q”)

(3′) ((p|q)|(p|q))|((p|q)|(p|q)) (se lee: “ni p ni q, ni, ni p ni q, ni, ni p ni q, ni, ni p ni q”)

(1′), (2′) y (3′) son fórmulas equivalentes a (1), (2) y (3), respectivamente. Como se ve por estos ejemplos, la barra se Sheffer constituye por sí sola un conjunto completo de conectivas, que nos permite expresar lo mismo que con conjuntos de conectivas más amplios, como los que propusieron Frege y Russell. La eliminación de la pluralidad de conectivas del simbolismo lógico era crucial para Wittgenstein, en la medida en que eliminaba la oscuridad a la hora de exhibir la forma lógica de la proposición.

La forma general de la proposición

Las proposiciones complejas son funciones de verdad de proposiciones elementales, como hemos visto en anteriores entradas. Ahora bien, ¿cómo se forman las proposiciones complejas a partir de las proposiciones elementales? Desde el punto de vista de Wittgenstein, lo que llama “forma general de la proposición” es lo que permite dar este paso, es decir, obtener todas las proposiciones a partir de las proposiciones elementales.

Se trata de una operación que se aplica sobre una proposición base y que, después, puede volver a aplicarse sobre el resultado una y otra vez. Así lo expresa nuestro autor en 5.2521: “Si una operación se aplica repetidamente a sus propios resultados, hablo de aplicaciones sucesivas de ella (‘O’O’O’a’ es el resultado de tres aplicaciones sucesivas de la operación ‘O’ξ’ sobre ‘a’.)”.

Esta operación sería lo que Wittgenstein llama la forma general de la proposición, la cual es representada en el Tractatus así: [-p,-ξ,N(-ξ)]. Lo que expresa esta sucesión de símbolos es, más o menos lo siguiente: toda proposición resulta de aplicar sobre p (variable que va por cualquier proposición elemental) la operación N(-ξ). La “N” indica negación. Esto se debe a que Wittgenstein pensaba que dicha operación implicaba la negación de proposiciones elementales. En realidad, la operación es lógicamente equivalente la negación de la conjunción, el caso de (3′), y esto se exhibe más adecuadamente con la barra de Sheffer.

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