Wittgenstein VIII: Las proposiciones de la matemática

Anteayer vi Wittgenstein de Derek Jarman y me acordé de nuestra maravillosa serie de artículos dedicados a profundizar en nuestro genio vienés. Ya hablaremos de ella aquí. Hoy, más que de cine, vamos a tratar un tema no menos fascinante: las proposiciones de la matemática en el Tractatus de Wittgenstein.

Resulta que esta clase de proposiciones no parecen encajar muy bien en la teoría figurativa del lenguaje propuesta por nuestro autor. Y no solo las proposiciones de la matemática, sino varias clases de enunciados sumamente importantes desde un punto de vista filosófico y científico: enunciados generales, de probabilidad, psicológicos (A cree que p; A sabe que p; A considera que p; etc.), enunciados que expresan leyes naturales, enunciados valorativos (ética y estética) y los propios enunciados del Tractatus, no encajarían con la teoría de Wittgenstein.

Ludwig Wittgenstein ha sido llevado al cine, a la literatura, al teatro y al cómic

Como no podía ser de otra manera, dedicaremos un post a cada tipo de enunciado, pues sobre todos ellos dijo algo al respecto Wittgenstein en el Tractatus. Y como indica esta entrada, nos vamos a centrarnos por el momento en las proposiciones de la matemática.

Decir y mostrar: conceptos formales

Una de las dicotomías básicas del Tractatus es la que hay entre decir y mostrar. Para Wittgenstein «lo que puede ser mostrado no puede ser dicho». Ambos conceptos se entienden aquí en un sentido muy literal: «decir» se entiende como expresar una proposición mediante una ristra de signos y «mostrar» se entiende como enseñar algo, como si enseño a alguien una cicatriz. Teniendo esto en cuenta, consideremos los siguientes enunciados:

(1) Ayer compré una sandía que pesaba dos kilos

(2) «Ayer compré una sandía que pesaba dos kilos» es una proposición

(1) tiene significado, en términos tractarianos, figura un hecho. El hecho ha podido ocurrir o no y, en función de su ocurrencia o no ocurrencia, (1) será verdadera o falsa. Pero, con todo, (1) es una figura del mundo. ¿Qué ocurre con (2)? Bueno, sigamos hablando de (1). El que (1) tenga significado, es decir, que figura un hecho o nos dice algo, muestra que (1) es una proposición. Por tanto, (2) no dice nada, porque (1) muestra lo que es. Cuando decimos (2) no estamos diciendo nada. Ese es el punto de vista del Wittgenstein tractariano.

Pero entonces, ¿por qué alguien enunciaría algo como (2)? Pues porque hay filósofos, especialmente Frege y Russell, que no han llegado a ver esta diferencia con tanta nitidez, lo que les lleva a decir absurdos como (2), creyendo que han hecho algún tipo de descubrimiento o que han conseguido dominar las herramientas adecuadas para caracterizar la lógica del lenguaje. Frege la atisbó, pues para él que algo es un concepto se muestra, aunque no lo podamos enunciar. «Blancura» muestra que es un concepto en el hecho de que puedo decir «la pared es blanca», pero no «la blancura es pared». Sin embargo, no fue mucho más allá.

Pues bien, a estos conceptos con los que se intentan especificar los rasgos de la lógica, Wittgenstein los llama conceptos formales y se caracterizan por no ser conceptos genuinos, sino una especie de pseudoconceptos.

Los enunciados de la matemática y la forma general de la proposición

¿Os acordáis del post dedicado a la forma general de la proposición? La forma general de la proposición es una operación que nos permite generar una proposición a partir de una previa. La operación tenía una forma como esta: a, ab, abb, abbb, abbbb,… Se trata de una operación en la cual el resultado se utiliza como base de la misma.

Pues bien, esta operación formal es la que Wittgenstein utilizará para definir al protagonista de los enunciados matemáticos: al número. Para Wittgenstein el número está intímamente asociado a cualquier operación de este tipo, pues es la realización de una operación formal hasta determinada etapa y esa determinada etapa es un número determinado. La esencia de los números está en la operación formal. De la aplicación de cualquier operación formal surgen los números.

Utilizaremos un clásico ejemplo propuesto por G. E. M. Anscombe. Supongamos que quiero explicar el concepto de «antepasado en la línea masculina» diciendo algo como esto: «Está mi padre y el padre de mi padre y el padre del padre de mi padre y así sucesivamente». Para una explicación de este tipo, se considera que entender «antepasado de la línea masculina» consiste en entender que a «del padre» se le puede añadir un número indefinido de veces otro «del padre».

Ahora bien, ¿qué haría si quisiera saber qué persona concreta es uno de mis antepasados masculinos? Como sugiere Anscombe, para saber esto necesitamos un numeral: el número es un exponente de una operación formal. Y todo enunciado que contenga números, puede ser traducido a una frase que represente la aplicación de una operación formal. Con un ejemplo, «2 + 2 = 4» puede escribirse de otra manera, por ejemplo: «(AA)(AA)x = AAAAx».

¿Y por qué insiste Wittgenstein en esto? La razón es para evitar que el número se conciba como un objeto. Los signos de los numerales no están por cosas, como la palabra «casa». Para ver el interés de esto, veamos un ejemplo. ¿Qué quiero decir cuando digo que «tengo cinco dedos en mi mano derecha»? Desde luego, en mi mano no hay un dedo y otro y otro y otro y otro y también el número cinco o una cosa que sea «cinco dedos en mi mano derecha». En mi mano derecha está este dedo, este otro, este otro, este otro y este, pero ni rastro del número cinco.

Entonces, ¿qué estoy diciendo cuando profiero «tengo cinco dedos en mi mano derecha»? Siguiendo a Wittgenstein: que, dada mi mano derecha, podría cerrar un dedo, a, cerrar otro, ab, cerrar otro, abb, cerrar otro, abbb, y cerrar otro más, abbbb, y no quedarían ya dedos que cerrar.

La matemática y el mundo

Si los números no van por objetos, los enunciados de la matemática no dicen nada acerca del mundo. Un fastidio, vaya. Las proposiciones de la matemática sirven, entre otras cosas, para discriminar hechos, para distinguir unos de otros, pero no dicen nada. Cuando digo que «en mi mano derecha hay cinco dedos», discrimino un estado de mi mano, en el que tiene cinco dedos, de otro en le que tiene cuatro u otro en el que tiene seis.

Para Wittgenstein la matemática es una forma particular de aplicar operaciones formales. Frege no vio esto porque la gramática oscurece la forma lógica de las proposiciones. En otras palabras, si expresáramos «2 + 2 = 4» así: «(1 + 1) + (1 + 1) = 1 + 1 + 1 + 1», sería más evidente que no estamos hablando acerca de los hechos, se trata de una ecuación matemática que no dice, sino que muestra, que lo que hay a ambos lados del signo de identidad, «=», es equivalente.

Precisamente, este oscurecimiento gramatical fue el que llevó a Frege y Russell por los derroteros del logicismo, al intentar derivar la matemática de la lógica. Wittgenstein no era logicista. Pensaba más bien que la matemática era una de las caras de la operación lógica fundamental, la forma general de la proposición, mediante la cual derivamos una proposición cualquiera a partir de otra.