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Curso de lógica (III): lenguaje objeto y metalenguaje. Descomposición de fórmulas

Publicado por Esteban Galisteo Gámez

En la anterior lección de este curso de lógica vimos la sintaxis de la lógica proposicional. Ahora tocaría pasar a la semántica, sin embargo antes es preciso hacer un inciso para explicar la descomposición de fórmulas y la distinción entre lenguaje objeto y metalenguaje. Todo ello nos será útil tenerlo en cuenta para las lecciones siguientes. De este modo, a continuación pasaremos a explicar estos puntos.

Curso de lógica (III): lenguaje objeto y metalenguaje. Descomposición de fórmulas

1. Lenguaje objeto y metalenguaje

Cuando hablamos de un lenguaje, sea natural o artificial, cabe hacer la distinción entre el lenguaje del que se habla y el lenguaje en el que se habla. Al primero lo llamamos lenguaje objeto, al segundo metalenguaje. En nuestro caso, el lenguaje objeto es el lenguaje de la lógica proposicional, que es el que estamos especificando aquí. El metalenguaje, por otra parte es el castellano, que es el que estamos utilizando para hablar de y describir el lenguaje de la lógica proposicional. Un lenguaje dado puede ser unas veces lenguaje objeto y funcionar otras como metalenguaje, puesto que podemos hablar de él o utilizarlo para hablar de otro lenguaje.

Por ejemplo, si decimos

(1) si A y B son fórmulas, A ˄ B es una fórmula

tenemos que las letras A y B pertenecen al metalenguaje, son variables metalingüísticas. En este caso, utilizamos expresiones del metalenguaje para referirnos a expresiones del lenguaje objeto. Cuando se trata del lenguaje natural, también se hace, sin embargo se utilizan comillas, así en (2)

(2) “Napoleón” tiene 8 letras

“Napoleón” es una expresión del metalenguaje, con la que nombramos un objeto lingüístico del lenguaje objeto, Napoleón (en (2) el castellano es el lenguaje utilizado para hablar de una palabra del castellano, de tal modo que lenguaje objeto y metalenguaje coinciden). Los símbolos lógicos, como ˄ también se pueden nombrar en el metalenguaje utilizando comillas, sin embargo, para los fines de este curso, nosotros nos abstendremos de utilizarlas, para mayor comodidad. Además, los símbolos de nuestro lenguaje objeto se diferencian claramente de nuestro metalenguaje, el castellano, al contrario de lo que ocurre en (2).

2. Descomposición de fórmulas

Toda fórmula compuesta se puede descomponer en sus fórmulas más simples. En esta descomposición se muestra el árbol genealógico de la fórmula, en el que queda reflejado su proceso de construcción. Se trata de un proceso de análisis en fórmulas cada vez más simples, hasta llegar a las letras proposicionales, las cuales ya no se pueden descomponer más. Este proceso se puede mostrar en un esquema en árbol. Descompondremos la fórmula (p ˄ q) → (̚ q ˅ ̚ ̚r) para mostrar este proceso.

(p ˄ q) → (̚ q ˅ ̚ ̚r) se descompone en las subfórmulas (p ˄ q) y (̚ q ˅ ̚ ̚r). Por su parte, la fórmula (p ˄ q) se descompone en las subfórmulas p y q, que ya no se pueden seguir descomponiendo en subfórmulas puesto que son letras proposicionales. Sigamos con la otra subfórmula, (̚ q ˅ ̚ ̚r). Esta se descompone en las subfórmulas ̚ q y ̚ ̚r. La fórmula ̚ q se descompone en la fórmula q, que al ser una letra proposicional no se puede descomponer más. A su vez, la fórmula ̚ ̚r se descompone en la fórmula ̚r, que se descompone en r, que ya no se puede seguir descomponiendo por ser, al igual que p y q, una letra proposicional.

Todas las fórmulas que aparecen en el árbol genealógico son las subfórmulas de una fórmula dada. A continuación tendremos en cuenta tres reglas que nos sirven para generar todas las subfórmulas de una fórmula dada A.

Regla 1: Si A es una letra proposicional, entonces la única subfórmula de A es A misma.

Regla 2: Si A = ̚ B, las subfórmulas de A son A más las subfórmulas de de B.

Regla 3: Si * es una conectiva binaria y A = (B * C), las subfórmulas de A son A misma más las subfórmulas de B y las subfórmulas de C.

Hemos de tener en cuenta aquí las siguientes observaciones. La regla 1, garantiza que dos fórmulas distintas tengan las mismas subfórmulas. En segundo lugar, si una fórmula A es una subfórmula de una fórmula B y B es una subfórmula de C, entonces A es una subfórmula de C.

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