Curso de lógica (II): sintaxis del lenguaje de la lógica proposicional

Como dijimos en la anterior lección de este curso de lógica, a la lógica le interesa la forma de los argumentos, siendo la noción central de esta ciencia la de “argumento válido”. Para estudiar las formas de los argumentos, se construyen lenguajes formales. En esta lección y en las siguientes estudiaremos el lenguaje de la lógica proposicional. Es un lenguaje formal diseñado para el estudio de aquellos argumentos para los cuales la validez depende de la validez de los enunciados vertitativo-funcionales que aparecen en los argumentos. Comenzaremos esta lección de nuestro curso de lógica elucidando la recién introducida noción de “expresión veritativo-funcional”. Después introduciremos la sintaxis del lenguaje de la lógica proposicional.

1. Expresiones veritativo-funcionales

Si bien en lógica trabajamos con lenguajes formales, la sede de la lógica está en los lenguajes naturales, por ello utilizaremos ejemplos del lenguaje natural para introducir esta noción. Pensemos en los siguientes enunciados:

(1) David Hume es ateo

(2) Carlos Marx criticó la economía política y David Hume es ateo.

(1) es un enunciado simple. (2) es un enunciado compuesto. La verdad o falsedad de (2) depende de cada uno de los enunciados que lo componen, en este caso de la verdad o falsedad de (1) y de la verdad o falsedad del enunciado “Carlos Marx criticó la economía política”, que es otro enunciado simple. El enunciado (2) lo hemos formado con la partícula “y”. Lo importante está en que algunos enunciados como (1) tienen la propiedad de que el valor de verdad de los enunciados que formamos con ellos, por ejemplo (2), depende únicamente de la verdad o falsedad de estos enunciados simples.

Con el ejemplo, (1) tiene la propiedad de que podemos formar con él enunciados como (2) y que el valor de verdad de (2) depende del valor de verdad de (1). A las expresiones que tienen esta propiedad las llamamos veritativo-funcionales y decimos de ellas que se comportan veritativo-funcionalmente.

En las lecciones siguientes profundizaremos más en este concepto.

2. La sintaxis del lenguaje de la lógica proposicional

Los lenguajes formales, como el de la lógica proposicional, tienen un componente sintáctico y otro semántico. En esta lección veremos la sintaxis del lenguaje de la lógica proposicional. La sintaxis de la lógica proposicional está formada por una gramática y un alfabeto. El primero consta de símbolos, los cuales se dividen en tres categorías: signos lógicos, no lógicos y signos de puntuación. Estos últimos pueden ser prescindibles, los símbolos lógicos y los no lógicos son necesarios.

La gramática, por su parte consiste en un conjunto de reglas que nos permite generar fórmulas del lenguaje a partir de otras fórmulas. Para entender la noción de fórmula hemos de introducir previamente los símbolos del alfabeto del lenguaje de la lógica proposicional. Este consta de:

1. Letras proposicionales (símbolos no lógicos). No hay un número determinado. Para los fines de este curso de lógica, estipularemos las letras “p”, “q”, “r” y “s” como nuestras letras proposicionales.

2. Conectivas (símbolos lógicos). ̚ , →, ↔, ˄, ˅

3. Signos de puntuación. Paréntesis ( ).

De las conectivas, la primera se llama negación y es una conectiva monaria. El resto son conectivas binarias. A continuación veremos el nombre de cada una y cómo se leen.

“ ̚ “ se llama negación y se lee “no”

“→” se llama condicional y se lee “si…entonces”.

“↔” se llama bicondicional y se lee “si y solo si”.

“˄” se llama conjunción y se lee “y”.

“˅” se llama disyunción y se lee “o”.

Una vez que hemos introducido nuestro alfabeto, podemos elucidar la noción de fórmula. Dado un lenguaje proposicional L, una fórmula de L es una secuencia de símbolos de L generada por un número finito de aplicaciones de estas reglas:

1. Toda letra proposicional de L es una fórmula.

2. Si A es una fórmula ̚ A es una fórmula.

3. Si A y B son fórmulas, A˄B, A˅B, A→B y A↔B son fórmulas.

Algunos ejemplos de fórmulas del lenguaje de la lógica proposicional:

p

̚ p

p ˄ q

̚ ̚ ̚p

(p → q) ˅ r

(p ↔ q) ˅ (r → s)

La primera de las fórmulas es una fórmula atómica, el resto son fórmulas compuestas. Las fórmulas compuestas tienen una conectiva principal o dominante, que es la introducida por la última regla aplicada al construir la fórmula. Las fórmulas suelen llamarse por el nombre de la conectiva principal o dominante. Así, la segunda fórmula es una negación, la tercera una conjunción, la cuarta una triple negación, la quinta y la sexta son disyunciones. Para obtener ̚ p hemos aplicado la regla 2 a p. Igualmente, p ˄ q la hemos obtenido aplicando la regla 3 a p y a q. Y así todas las fórmulas. Con estas reglas finitas, aplicadas un número finito de veces pueden obtenerse infinitas fórmulas.

Finalmente, de regreso a nuestras reglas, hay que precisar que, con el objetivo de evitar ambigüedades sintácticas, las reglas que hemos precisado más arriba cumplen estas dos condiciones:

1. La misma regla aplicada a distintas fórmulas da como resultado fórmulas distintas.

2. La misma fórmula no se puede obtener mediante la aplicación de reglas distintas.

A la hora de evitar las ambigüedades sintácticas, los paréntesis desempeñan un papel fundamental.

La importancia de evitar las ambigüedades sintácticas la veremos en la lección del curso de lógica dedicada a la semántica del lenguaje de la lógica proposicional.

Bibliografía:

BADESA, C., JANÉ, I., JANSANA, R. Elementos de lógica formal. Ariel Filosofía, 2000. Barcelona.