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Aquiles y la Tortuga: el problema de la justificación de la deducción

Publicado por Esteban Galisteo Gámez

En 1895 Lewis Carroll publicó una breve fábula titulada “Lo que la Tortuga le dijo a Aquiles”. En esta fábula Carroll presentaba, con su peculiar estilo, el problema de la justificación de la deducción. Se trata de una cuestión de filosofía de la lógica que versa sobre la justificación de los métodos deductivos utilizados por las ciencias formales. Lo que Carroll va a tratar de mostrar es que cuando aceptamos que la verdad de la conclusión de un argumento deductivo, hemos de aceptar tanto la verdad de las premisas como la validez del argumento, ahora bien, eso supone aceptar una nueva premisa, a saber, la validez del argumento (“si la premisa A y la premisa B son verdaderas y C se sigue de A y B, entonces C debe ser verdadera” puede considerarse una nueva premisa). Sin embargo, ahora tenemos un argumento nuevo, que consta de n+1 premisas. Si aceptamos la validez de este nuevo argumento, entonces tendremos un nuevo argumento, que constará de n+2 premisas y así ad infinitum.

Aquiles y la Tortuga: el problema de la justificación de la deducción

Carroll presenta el problema a través de los personajes de la vieja historia de Zenón sobre Aquiles y la Tortuga. En este caso, con un sentido jocoso, Carroll comienza la historia una vez que Aquiles ya ha alcanzado a la Tortuga. Este va descansando sobre el caparazón de la Tortuga, mientras ambos conversan sobre la paradoja de Zenón. En un momento dado de la conversación, la Tortuga le hace una propuesta a Aquiles: del mismo modo que hiciera Zenón, la Tortuga le propone a Aquiles enseñarle una carrera que parece que se resuelve en un par de pasos, pero que en realidad tiene infinitos pasos. Aquiles, picado por la curiosidad, acepta la propuesta de la Tortuga.

Una vez se ponen a ello, la Tortuga le pide a Aquiles que saque un cuaderno y un lápiz y le pide que apunte lo siguiente:

“(A) Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí.

(B) Los dos lados de este triángulo son iguales a uno tercero.

(Z) Los dos lados de este triángulo son iguales entre sí.”

Se trata de un argumento válido, puesto que Z, la conclusión, se sigue de las premisas, A y B. Sin embargo, la Tortuga comienza a divagar sobre los modos en que, independientemente de que el argumento sea válido, alguien podría no aceptarlo. Entonces le pide a Aquiles que suponga que ella, la Tortuga, no aceptará el argumento sobre la base de que acepta la verdad de las premisas, A y B, pero no acepta la validez de la inferencia de A y B a Z, de modo que no acepta (C)

“(C) Si A y B son verdaderas, entonces Z también lo es”.

De modo que ahora Aquiles se ve obligado a pedirle a la tortuga que acepte C, con lo cual el argumento tiene ahora este aspecto:

“(A) Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí.

(B) Los dos lados de este triángulo son iguales a uno tercero.

(C) Si A y B son verdaderas, entonces Z debe ser verdadera.

(Z) Los dos lados de este triángulo son iguales entre sí.”

El anterior argumento es, de nuevo, válido, sin embargo dado que la Tortuga no tiene porque aceptarlo si no quiere, se niega a aceptarlo. Ahora Aquiles se ve obligado a obligar a la Tortuga, por medios lógicos y racionales, a que acepte (D)

“(D) Si A, B y C son verdaderas, entonces Z debe ser verdadera.”

Y el argumento tiene ahora esta forma:

“(A) Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí.

(B) Los dos lados de este triángulo son iguales a uno tercero.

(C) Si A y B son verdaderas, entonces Z debe ser verdadera.

(D) Si A, B y C son verdaderas, entonces Z debe ser verdadera.

(Z) Los dos lados de este triángulo son iguales entre sí.”

Pero la Tortuga se niega a aceptar E

“(E) Si A, B, C y D son verdaderas, entonces Z debe ser verdadera”.

Tras esto, Carroll decide que ya ha alargado suficientemente la tortura de Aquiles, así que dice que el narrador se va y, cuando tras pasado un tiempo vuelve, la Tortuga y Aquiles continúan con su juego.

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