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Wittgenstein II: las motivaciones del «Tractatus»

Publicado por Esteban Galisteo Gámez

Como dijimos en el primer artículo dedicado a Ludwig Wittgenstein, este llegó al terreno de la filosofía a través del estudio de los fundamentos de la matemática: leyó a Gottlob Frege y fue en su busca porque quería estudiar con él. Fue a su casa y habló con él, pero este ya estaba jubilado y muy viejo, por lo que le recomendó que viajara a Cambridge a estudiar con Bertrand Russell. El caso es que el punto de partida de nuestro autor fue la crítica a Frege y Russell.

Russell y la teoría de los tipos

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De izquierda a derecha: Gottlob Frege, Ludwig Wittgenstein y Bertrand Russell.

Russell, al igual que Frege, quería probar la tesis logicista. Frege había caído en una paradoja que fue descubierta por Russell, la Paradoja de Russell, y este último, para resolverla, propuso la teoría de los tipos. Ambos pretendían definir los números echando mano de la noción de clase (conjunto). Por ejemplo, el número 2 fue definido como la clase de todas las clases de dos elementos; el número 3, como la clase de todas las clases de 3 elementos; etc. Ahora bien, aquí se corría el riesgo de caer en una circularidad, para la cual Russell encontró una solución y fue durante el desarrollo de esta idea cuando descubrió la Paradoja de Russell y formuló la mencionada teoría de los tipos.

La definición de los números que proponían Frege y Russell requería que pudiéramos hablar con sentido de clases, de clases de clases, de clases de clases de clases, etc. Esto significa que las clases pueden ser miembros de otras clases (por ejemplo, una clase de dos elementos, un par, es miembro de la clase de los pares, la cual define al número 2). Esto conlleva una cuestión, a saber, si una clase puede pertenecerse a sí misma. Está claro que la clase de los lápices no se pertenece a sí misma, pues es una clase y no un lápiz. Ahora bien, la clase de todas las clases es una clase, así que cabe preguntarse si se pertenece a sí misma o no. Desde este punto de vista, parece que es lícito distinguir entre clases que se pertenecen a sí mismas y clases que no se pertenecen a sí mismas.

Ahora bien, si consideramos la clase de todas las clases que no se pertenecen a sí mismas y nos preguntamos si se pertenece a sí misma o no, llegaremos a una paradoja. En efecto, supongamos que la clase de todas las clases que no se pertenecen a sí mismas, se pertenece a sí misma. Si es así, tenemos que concluir que no se pertenece a sí misma, pues a la clase de todas las clases que no se pertenecen a sí mismas únicamente pertenecen las clases que no se pertenecen a sí mismas. Entonces, no puede pertenecerse a sí misma. En este caso, tendremos que concluir que sí se pertenece a sí misma, pues toda clase que no se pertenece a sí misma es miembro de la clase de todas las clases que no se pertenecen a sí mismas.

Para solucionar esta paradoja, Russell introduce la teoría de los tipos. Según esta teoría, el universo está dividido en diferentes tipos lógicos, los cuales forman una jerarquía, que asciende desde los objetos, a las clases de objetos, a las clases de clases, a las clases de clases de clases, etc. Desde este punto de vista, lo que es válido para un tipo lógico, no lo es para otros. Enunciados como «la clase de los perros no es un perro» o «la clase de todas las clases se pertenece a sí misma» carecerían de sentido, pues estarían confundiendo tipos lógicos.

La verdad de las verdades lógicas

Desde que Aristóteles inauguró la lógica, esta disciplina apenas había experimentado cambios, hasta que llegó Frege. Su gran aportación fue la creación de un sistema simbólico, inspirado en el lenguaje de la aritmética, que permitía formalizar una gran cantidad de inferencias, tanto las de la lógica silogística de Aristóteles como otras muchas que esta no podía tratar.

El sistema de Frege se basaba en un conjunto de fórmulas válidas para cualquier interpretación (necesariamente válidas), esto es, de verdades lógicas. Por ejemplo, «si llueve, el suelo se mota; lloverá hoy; por tanto, el suelo se mojará hoy» puede formalizarse así: «si p, entonces q; p; por lo tanto, q». Pues bien, todos los argumentos que tienen esta forma lógica, son instancias particulares de esta verdad lógica.

Por su parte, Russell había construido de manera independiente junto a Alfred N. Whitehead otro sistema lógico, el cual se basaba, como el de Frege, en un conjunto de axiomas (verdades lógicas).

El caso es que las verdades lógicas son verdades que no dependen de cómo sea el mundo. De esta manera, cabe preguntarse qué es lo que las hace verdaderas. Tanto Frege como Russell sostuvieron que no había que mirar al mundo empírico, sino pensar en el mundo de los objetos abstractos. A este respecto, Frege fue mucho más explícito que Russell, si bien este dijo que «hay un proceso análogo a aquel que tuvo por resultado el descubrimiento de Neptuno, con la diferencia de que el estadio final – la búsqueda con un telescopio mental de la entidad que ha sido inferida – es a menudo la parte más difícil de la empresa».

Russell y el axioma de infinitud

En cuanto a Russell, en su intento de definir los números en términos de clases, se vio obligado a hacer una suposición, llamada «axioma de infinitud». Según este, el número de objetos del universo es infinito. Para entender qué obligó a Russell a hacer tal suposición, tenemos que considerar lo que supone definir un número grande en términos de una tupla. Es fácil entender que el 2 se define como la clase de los pares, pero ¿Qué hay de los números más grandes, teniendo en cuenta que la serie de los números es infinita? Supongamos un número n, tal que n > ∞, el cual se definiría como la clase de todas las n-tuplas tales que n > ∞. Para un número como el 2, no hay problema, pues la evidencia muestra que existen pares de cosas, pero la evidencia no muestra la existencia de n-tuplas tales que n > ∞. Si suponemos que en el universo hay un número finito de objetos, entonces no queda claro cómo podemos contar más allá del número finito de cosas que haya en el universo, por muy grande que este sea. Así que lo mejor que se le ocurrió a Russell para salvar este problema fue el axioma de infinitud.

Wittgenstein

Para Wittgenstein las suposiciones anteriores eran completamente erróneas. Estas se basaban en una mala compresión de la naturaleza de la lógica. Estas serán las motivaciones que le llevarán a desarrollar su primera filosofía, la filosofía del Tractatus Logico-Philosophicus.

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