El logicismo
El logicismo es una tesis de filosofía de la matemática. Fue propuesta por G. Leibniz en el siglo XVII y tiene una formulación sencilla: las matemáticas se pueden reducir a la lógica. Leibniz, que se sepa, no llegó a desarrollar esta tesis, así que hubo que esperar a finales del siglo XIX para que esta fuera retomada en serio. El abono para que esta tesis floreciera de nuevo lo pusieron Giuseppe Peano, Richard Dedekind y Gottlob Frege. Los dos primeros contribuyeron con la formulación de los fundamentos de las matemáticas. Dedekind proporcionó un análisis de los números naturales con el que contribuyó en la teoría de conjuntos que desarrollarían Frege y Cantor, además de en la formulación de los axiomas de Peano, con los que este fundamentó la aritmética. Frege, además, desarrolló el primer sistema de lógica de predicados. En este contexto, Frege fue uno de los autores que más intensamente trabajó por probar la tesis logicista.
Kurt Gödel dio al traste con el proyecto logicista.
Mientras, en Gran Bretaña, Bertrand Russell descubrió una paradoja en la obra de Frege, quien quedó tan consternado que decidió tirar su proyecto logicista a la papelera. Por su parte, Russell continuó trabajando con Alfred North Whitehead en la tesis logicista. Ambos preparaban la que después sería una obra monumental, tal vez la obra cumbre del logicismo: Principia Mathematica. Hasta que Kurt Gödel demostró sus teoremas de incompletitud se pensaba que en Principia la tesis logicista estaba demostrada. El trabajo de Gödel se llevó por delante las ambiciones logicistas en filosofía de la matemática durante un tiempo, hasta que en 1983 Crispin Wright reformuló una alternativa, naciendo así un movimiento neo-logicista.
El proyecto de Frege
La idea de Frege consistió, en primer lugar en la creación de un sistema de lógica de predicados, el primero de la historia, que después iría utilizando en diversas áreas de la matemática. Así lo expresó en el prólogo de su Conceptografía (1879). Creado su lenguaje de fórmulas, el siguiente paso era comenzar por la aritmética, la idea era derivar los principios de la aritmética de Peano de las leyes básicas de su sistema de lógica. Pensó haberlo conseguido en Las leyes fundamentales de la aritmética, cuyo segundo volumen fue finalizado en 1902. Frege le envió un volumen a Russell y Russell demostró que el sistema de Frege era inconsistente, pues la Ley V llevaba a resultados paradójicos. Concretamente, Russell descubrió la paradoja de Russell. Esto fue un duro golpe para Frege, quien decidió abandonar su proyecto logicista para dedicarse a otros asuntos.
Principia Mathemathica
Russell y Whitehead le sacan ventaja a Frege, así que entre los años 1910 y 1913 publican Principia Mathemathica, en 3 gigantescos volúmenes. En ella piensan haber probado la tesis logicista, es más la comunidad filosófica está mayoritariamente convencida de que está resuelta. No obstante, se hacen algunas objeciones. Concretamente, se objeta que el axioma de reductibilidad, por un lado, y el de infinitud, por otro, son muy cuestionables. Por un lado, el axioma de reductibilidad. Según este, dada una proposición cualquiera, esta es equivalente a una proposición de un tipo inferior. Con este axioma Russell resolvía algunos problemas técnicos, sin embargo se ha criticado que este axioma es una propuesta ad hoc y por tanto no estaría justificado filosóficamente. Por otra parte, el axioma de infinitud es criticado por tener el aspecto de una hipótesis empírica, más que el de un axioma matemático. Según este axioma, existe un número infinito de objetos.
Los teoremas de incompletitud de Gödel
En 1931 Gödel le da una bofetada al logicismo, al demostrar su famosos teoremas. Los teoremas de Gödel son dos y de ellos se sigue, según algunos puntos de vista, que el logicismo es un proyecto imposible. En efecto, según el primer teorema si una teoría aritmética es consistente, entonces es incompleta. Según el segundo, si una teoría aritmética es completa, entonces es inconsistente, de lo cual se sigue que no hay ninguna teoría aritmética que sea a la vez consistente y completa. Esto entraña que no puede haber un sistema formal del que se pueda derivar toda verdad matemática.
El Neo-logicismo
La ley V del sistema lógico de Frege que Russell había encontrado paradójica decía lo siguiente: Un conjunto A es idéntico a un conjunto B si y solo si todos los elementos de A pertenecen a B y todos los elementos de B pertenecen a A. En 1983 Crispin Wright plantea que, en primer lugar, Frege dividió su trabajo en dos fases, en la primera en la que formulaba esta ley, de la cual derivaba el principio de Hume, según el cual el número de los elementos de A es el mismo que el de los elementos de B si y solo si los elementos de A y B pueden ser puestos en correspondencia biunívoca.
Wright llama la atención de que, a partir de aquí, Frege ya no hace uso de la ley V, sino del principio de Hume, del cual deriva los axiomas de la aritmética de Peano. A juicio de Wright el principio de Hume sería consistente y, por tanto, no se derivaría de él la paradoja de Russell. A partir de aquí hay quien ha visto abierta una puerta para retomar el proyecto logicista, al menos en una nueva versión.