La paradoja de Russell

La paradoja de Russell es uno de esos descubrimientos aparentemente aséptico. Nada más lejos de la verdad. Su descubrimiento en 1903 tambaleó los cimientos de las matemáticas y, en la medida que las ciencias tenían como espejo a las matemáticas, los fundamentos de todas las ciencias. De hecho, buena parte del trabajo intelectual de la primera mitad del siglo XX estuvo destinado a superar la paradoja de Russell. Pero veremos todo esto con mayor detalle en lo que sigue.

Caricatura de Bertrand Russell

1. El proyecto logicista: el contexto de la paradoja de Russell

El logicismo es la tesis filosófica que dice que la matemática, o la mayor parte de ella, puede ser reducida a la lógica. La tesis fue propuesta en el siglo XVII por Gottfried Leibniz, pero no se hicieron esfuerzos notables por reducir la matemática a la lógica hasta finales del siglo XIX, de la mano de Gotlob Frege. Su intento logicista se plasmó principalmente en dos obras: la Conceptografía, de 1879, y Las leyes fundamentales de la aritmética, de 1893. Además, el programa de trabajo estaba más que planeado. Este constaba de dos fases. En la primera, los conceptos de la matemática debían definirse en términos puramente lógicos. En la segunda fase, habría que proporcionar demostraciones de los teoremas matemáticos usando solo la lógica.

Fue en el intento que Frege realizó por probar la tesis logicista donde Bertrand Russell, que también se encontraba inmerso en reducir la matemática a la lógica junto a Alfred Norton Whitehead, quien descubrió, en la obra de Frege, la paradoja a la que bautizó con su nombre, concretamente en Las leyes fundamentales de la aritmética.

2. La teoría de conjuntos: Frege, Cantor y la paradoja de Russell

En 1902 Frege terminaba el segundo volumen de su obra, Las leyes fundamentales de la aritmética, obra en la que, pensaba, estaba probada la tesis logicista. Tras veinte años de trabajo, Frege conseguía reducir la matemática a la lógica. Poco tardó el pobre Frege en chocar contra la dura realidad. En efecto, en 1903 Frege enviaba un ejemplar a Bertrand Russell, quien también trabajaba en el proyecto logicista, junto a Alfred N. Whitehead. Russell, por su parte, encontró en el axioma V del libro de Frege la mencionada paradoja.

La historia de este descubrimiento es la siguiente: Frege y Cantor estaban, cada uno por un lado, intentando definir la noción de número. Cada uno de ellos lo hizo por dos vías. Cantor inventó la teoría de conjuntos, puesto que se percató de que podía aplicar la noción de número a toda colección de objetos, siempre que esta estuviera bien definida. Por su parte, Frege intentó definir la noción de número en términos de la noción de concepto, que es la contrapartida intensional de la noción extensional de conjuntos. Es a esto a lo que se suele llamar teoría de conjuntos de Cantor-Frege.

Ambos, Cantor y Frege, daban por su puesto algo que, por lo demás, resultaba evidente. A saber, según ellos todo predicado definía un conjunto. Así, el predicado «ser de hierro», define el conjunto de todas las cosas que son de hierro. «ser barbudo», el conjunto de todas las cosas que tienen barba, etc. Lo que Russell demostró es que este supuesto llevaba a una contradicción en la teoría. En efecto, Russell pensó en un predicado particular, a saber, «no pertenecerse a sí mismo» y lo aplicó a conjuntos, puesto que hay conjuntos de conjuntos.

El proceder de Russell fue el siguiente. Partiendo del predicable «no pertenecerse a sí mismo» y aplicándolo sobre conjuntos, tenemos que todo conjunto dado se pertenece a sí mismo o bien no se pertenece a sí mismo. Pensemos en el conjunto de todos los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos. ¿Se pertenecería a sí mismo o no? Supongamos que sí. Si se pertenece a sí mismo, resulta que no se pertenece a sí mismo, porque se trata del conjunto de los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos. Ahora bien, supongamos que no se pertenece a sí mismo. Si no se pertenece a sí mismo, entonces ha de pertenecerse a sí mismo, puesto que es el conjunto de los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos. Esta paradoja daba al traste con el trabajo de Frege y con la teoría de conjuntos.

3. La solución de Russell a la paradoja: la teoría de los tipos

Bertrand Russell propuso una teoría para resolver la paradoja. Se trata de la teoría de los tipos, la cual nunca convenció a nadie, ni siquiera al propio Russell. La teoría de los tipos se basa en el Principio del círculo vicioso, según el cual no se puede definir un concepto utilizando una totalidad que lo presuponga. Se trata de una ontología que divide el universo en tipos de cosas, los cuales estarían jerarquizados. En el nivel inferior, estarían los objetos: gatos, mesas, sillas, etc. En el siguiente los conjuntos, el conjunto de los gatos negros, el de las sillas decimonónicas, etc. En el siguiente los conjuntos de conjuntos, como el conjunto de los felinos, el de los muebles de época, etc.

Con esta jerarquía y el Principio del círculo vicioso, tenemos que para que algo pertenezca a otra cosa, lo primero ha de ser de una jerarquía inferior. Así, un gato negro puede pertenecer al conjunto de los gatos negros, pero el conjunto de los gatos negros no puede pertenecerse a sí mismo.