Curso de lógica (XIX): formalización
Como dijimos en el primer post de nuestro curso de lógica dedicado a la lógica de predicados, esta nos permite formalizar más tipos de argumentos que la lógica proposicional. Sin embargo, como ocurría en lógica proposicional, no hay reglas para traducir expresiones del lenguaje natural al lenguaje de la lógica de predicados. Así que para formalizar enunciados correctamente tenemos que valernos de nuestro olfato. En este post nos vamos a dedicar a formalizar algunos enunciados y argumentos, explicando cómo lo hacemos. Comenzaremos con enunciados simples e iremos subiendo el nivel de complejidad poco a poco. Así que sin más preámbulos, vamos ya a pasar a la formalización comentada de enunciados.
Para formalizar es de ayuda desentrañar la estructura de los enunciados
1. Antonio es cómico
Pa es la fórmula para traducir «Antonio es cómico». «Antonio» es un nombre propio, una palabra que siempre designa al mismo objeto. Para formalizar este nombre utilizamos una letra para constante, en este caso la «a». Por su parte, en este enunciado predicamos una propiedad de un objeto. Decimos que «Antonio es cómico«. Para formalizar este predicado utilizamos una letra de predicado, la P.
2. Algunos políticos son honestos
∃xPx es la fórmula para traducir el enunciado 2. En 2 se dice que, dentro del universo de los políticos, hay algunos individuos que tienen la propiedad de ser honestos. Para expresar esto en lógica de predicados, utilizamos el cuantificador existencial, ∃, con una variable, x. Esta va por cualquiera de los individuos del universo de los políticos. Después predicamos la propiedad «ser honesto», P, de la variable.
3. Todo el mundo tiene alguien que le quiere
∀x∃yRyx en este caso tenemos dos variables ligadas, x e y, cada una a un cuantificador. Lo que tenemos es un universo de individuos sobre el que cuantificamos dos veces. Decimos que todos (cuantificador universal) los miembros del universo están con algunos (cuantificador existencial) de ellos bajo la relación «ser queridos por».
4. No es oro todo lo que reluce
¬∀x(Qx → Px) es la fórmula para formalizar 4. Se dice que dentro de un universo no todos los individuos que tienen la propiedad de relucir pertenecen a la clase del oro. Esto lo expresamos con un cuantificador universal negado. Después de la variable se predica que tiene la propiedad de relucir y que no pertenece a la clase del oro. También podríamos utilizar la siguiente fórmula equivalente: ∃x(Qx ˄ ¬Px). Lo que se dice en esta variante es que hay algo que reluce y no es oro.
5. La Tierra tiene un único satélite
∃xRxa ˄ ∀y(Rya → y = x) es la fórmula para traducir 5 al lenguaje de la lógica de predicados. En este caso comenzamos diciendo que dentro de nuestro universo hay un único objeto que es satélite de la Tierra, a. Para ello utilizamos un símbolo relacional, R, ya que lo que se dice es que algo está con la Tierra en la relación «ser satélite de». Después cuantificamos universalmente sobre el mismo universo y, utilizando otra variable, decimos que todo lo que esté en la relación «ser satélite de» con la Tierra es siempre el mismo individuo, es decir, que si decimos que «x es satélite de la Tierra» y que «y es satélite de la Tierra», entonces x e y son variables que van por el mismo individuo del universo sobre el que cuantificamos.