Intuicionismo
El intuicionismo es una concepción acerca de la matemática según la cual las entidades matemáticas se originan a partir de procesos mentales creativos.
El Programa de Hilbert y el nacimiento del intuicionismo matemático
El Programa de Hilbert es una lista formada por 23 problemas, los cuales fueron presentados en el Segundo Congreso Internacional de matemática, celebrado en París en el año 1900, por el profesor David Hilbert. A su juicio estos problemas eran el gran desafío para las matemáticas del siglo XX. Ante algunos de estos problemas matemáticos surgieron tres posicionamientos filosóficos, que dividieron a los matemáticos del siglo XX: estas posiciones eran el logicismo, el formalismo y el intuicionismo.
De la lista de problemas que constituyen el Programa de Hilbert, destacaban el primero, en el que se plantea el problema de la estructura del continuo que forman los números reales, y el segundo, que se basaba en la exigencia de rigor para las pruebas matemáticas. Las ideas fundamentales del intuicionismo fueron elaboradas por L. E. J. Brouwer en su tesis doctoral (1907), en la que criticó las tesis fundamentales del logicismo y el formalismo acerca de la naturaleza, la fundamentación y los métodos matemáticos. Las críticas de Brouwer se centraron en estos cuatro puntos:
i) La axiomatización de la matemática en términos lógicos (esta es la tesis fundamental del logicismo).
ii) La teoría de conjuntos de Cantor (infinito actual y los conjuntos infinitos).
iii) La lógica simbólica presentada por Bertrand Russell.
iv) La concepción que Hilbert tenía respecto de la metamatemática.
Matemática y pensamiento
El intuicionismo supone un rechazo del formalismo, en la medida en que para los intuicionistas la matemática no es puramente formal, sino que tiene contenidos específicos. Estos contenidos pueden ser captados por los sujetos pensantes gracias a la intuición y con independencia de la experiencia. Por otra parte, también se rechazaba el antipsicologismo fregeano, de tal modo que desde este punto de vista la fundamentación de la matemática pasa por la estructura del pensamiento matemático. Desde este punto de vista, la investigación de la matemática es una investigación de los procesos mentales de los que proviene.
La naturaleza de las entidades matemáticas
El platonismo en matemática supone que las entidades matemáticas son un tipo especial de objeto, algo así como las sillas y los retretes, pero invisibles e inespaciales, hablando burdamente. Desde el punto de vista intuicionista las entidades matemáticas no son entidades ontológicamente independientes, sino construcciones del pensamiento, producidas por un acto creativo y libre de la mente humana. En la construcción mental de la matemática, el método axiomático no desempeña papel alguno. Esto tiene dos consecuencias fundamentales, una respecto de la fundamentación de la aritmética, según la cual se rechaza el infinito actual (entendido como una entidad) en favor del infinito potencial. La otra es respecto de las entidades que son admisibles en matemática: aquellas de las cuales se puede mostrar que se ha construido o que se puede construir mediante procedimientos intuitivos.
Matemática y Lógica
Para el intuicionista, la matemática es independiente de la lógica. La utilidad de la lógica se limita a la construcción del lenguaje matemático, además de ser útil para el análisis del mismo. En todo caso es la lógica la que depende del pensamiento matemático. Sea como fuere, el papel de la lógica, desde el punto de vista de los intuicionistas, consiste en la investigación sobre los procesos de construcción de la prueba matemática, de modo que la demostración de la existencia de una entidad matemática consiste en proporcionar el método para la construcción de dicha entidad y, del mismo modo, para probar una afirmación matemática hay que exhibir el modo en que se ha construido la entidad acerca de la cual trata dicha afirmación.
Ahora bien, desde este punto de vista, la reducción al absurdo para demostrar la existencia de una entidad es inadmisible, en la medida en que si las entidades matemáticas son construcciones mentales, el demostrar que la suposición de la inexistencia de dicha entidad lleva a una contradicción no es condición suficiente para admitir la existencia de dicha entidad. Por otra parte, la reducción al absurdo sí que es aceptable para mostrar la inexistencia de una entidad, puesto que el hecho de llegar a una contradicción cuando se trata de construir mentalmente una entidad matemática es una prueba de que no es posible su construcción y de que, por tanto, esa entidad no existe.
La crítica al Principio del Tercero Excluido
La crítica al Principio del Tercero Excluido realizada por Brouwer es el punto central de su crítica al razonamiento matemático. Según Hilbert, todo enunciado matemático puede ser afirmado o refutado. El punto de vista intuicionista sostiene que esto es falso. En efecto, existen problemas matemáticos para los cuales «A o no-A» no es verdadera, al contrario de lo que suponen los matemáticos clásicos que infieren inmediatamente la verdad de uno de los cuernos del dileam a partir de la falsedad del otro. Para el intuicionista se puede rechazar si no se puede construir una prueba, sin caer por ello en un absurdo.