La teoría de los tipos
Ya hemos hablado en este blog de la paradoja de Russell y de cómo Bertrand Russell propone la teoría de los tipos para darle solución a esta paradoja. Desde que esta teoría fue propuesta por el lógico británico, se han propuesto otras versiones de la misma. Así que en esta entrada vamos a profundizar más en esta teoría.
Caricatura de Bertrand Russell. Russell propuso la teoría de los tipos para solucionar la paradoja que lleva su nombre
Breve recordatorio de la paradoja de Russell
Podemos resumir la paradoja de Russell como sigue: si A es el conjunto de todos los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos, entonces A se pertenece a sí mismo o no se pertenece a sí mismo. Ahora bien, si A se pertenece a sí mismo, entonces A no es miembro de A, pero esto es contradicctorio. Y si A no se pertenece a sí mismo, entonces A es miembro de A, pero esto es también contradictorio. Así se resume la paradoja de Rassell. Podemos combinar lo que sabemos de lógica y teoría de conjuntos para presentar la paradoja de Russell formalmente:
A={x/x ∉ x} → [(A ∈ A → A ∉ A) ˅ (A ∉ A → A ∈ A)]
La teoría de los tipos como solución a la paradoja de Russell
La estrategia de Bertrand Russell para solucionar la paradoja que bautizó con su nombre es la teoría de los tipos. Esta separa lo que hay en una jerarquía de tipos. Los objetos ordinarios, tales como los gatos, las flores o las sillas son del tipo 0. El tipo 1 está ocupado por las propiedades de los objetos, tales como «ser rojo», «estar cojo» o «tener bigote». Las propiedades de las propiedades, como «valer para tres objetos», son del tipo 2, y así sucesivamente.
El modo en el que la teoría de los tipos evita la paradoja de Russell es el siguiente. Resulta que un elemento de un tipo dado no puede ser miembro (no puede pertenecer o no se puede predicar) de otro elemento del mismo tipo. Así, si x es un elemento del tipo 1 y z también lo es, entonces x ∉ z. Esto es posible con elementos de un tipo dado con respecto a un tipo superior. Un elemento del tipo 0 puede pertenecer a un elemento del tipo 1. Un ejemplo informal: Nietzsche (tipo 0) era bigotudo (tipo 1).
Esta sería la teoría simple de tipos. No obstante, existen versiones algo más complejas.
La teoría ramificada de los tipos
La teoría ramificada de los tipos se introduce para dar cuenta de las relaciones. En efecto, los objetos y las propiedades, además de tener propiedades, están en determinadas relaciones entre sí. El modo en que la teoría de los tipos da cuenta de esto es introduciendo niveles. Estos segregan los tipos en niveles en función del tipo de elementos a los que hay que hacer referencia para definirlos. Por ejemplo, las propiedades que se pueden definir refiriéndose exclusivamente a individuos del tipo 0, son de tipo 1 y nivel 0, las que pueden ser definidas haciendo referencia a elementos del tipo 0 y del tipo 1 y nivel 0, son del tipo 1 y nivel 1, etc.
La idea es que toda propiedad puede definirse únicamente haciendo referencia a elementos del tipo inferior o a propiedades que sean de su mismo tipo pero de nivel inferior.