Concepto de número de Gottlob Frege

Uno de los grandes hitos en la filosofía de la matemática fue la obra de Gottlob Frege, considerado hoy en día como el mejor filósofo de la matemática de todos los tiempos. Tanto es así, que después de que Frege se conociera, sus predecesores en este campo quedaron obsoletos y sus sucesores se han visto obligados a estudiarlo en profundidad. Esto no quiere decir que Frege diera en en el clavo en todo. De hecho, su programa logicista se derrumbó completamente cuando Bertrand Russell descubrió la famosa paradoja que lleva su nombre. Y precisamente, fue esta paradoja la que hizo inconsistente el concepto de número propuesto por Frege. Sin embargo, a pesar de estos deslices, lo cierto es que todavía hay quien cree en el proyecto logicista.

Cubierta de la edición española de 1973 de los «Fundamentos de la aritmética» de Gottlob Frege.

La reducción de la aritmética a la lógica

Frege pensaba que en matemáticas había que avanzar sobre suelo firme y que todo avance, para ser tal, debía estar perfectamente justificado y fundamentado. Por ello llegó a la conclusión que el único modo de hacer esto era reducir la aritmética a la lógica. Pero, ¿por qué a la lógica? Pues porque la lógica, tal y como Frege la concibe, estudia las leyes del pensamiento, que son las leyes más básicas de todas, comunes a todas las esferas de la vida y a todos los saberes. Así que Frege se embarcó en la tarea de definir las nociones de la aritmética en términos puramente lógicos. Y entre estas nociones, está la noción de número.

Frege y la naturaleza de la aritmética

La tesis logicista fue propuesta y formulada por Frege en los Fundamentos de la aritmética (1884). En esa obra, Frege comienza atacando a las concepciones sobre las verdades matemáticas de la época. Estas habían sido propuestas por Inmanuel Kant y por John Stuart Mill. Según el primero, las verdades de la matemática son juicios sintéticos a priori, esto quiere decir que se basan en la intuición. Para Mill, las verdades de la matemática tienen una base empírica. Son generalizaciones basadas en la experiencia con un alto rango de aplicación y confirmadas al máximo. Frege, por su parte, consideró que, al menos, las verdades de la aritmética eran analíticas y ser analítico significa que se pueden obtener sobre la base de principios puramente lógicos, pudiéndose expresar, igualmente, en términos puramente lógicos.

Los números son clases de clases

Frege definió los números utilizando la noción lógica de «clase». Y definió los números cardinales como clases de clases con el mismo número de elementos. Por ejemplo, el número uno es la clase de todas las clases de un elemento. Para que esta definición no sea circular, por utilizar la misma noción de número, Frege llama la atención sobre el hecho de que se puede decir lo que significa que dos clases tienen el mismo número de miembros sin recurrir a la noción de «número». Por ejemplo, si tengo la clase de los lacitos rojos y tengo la clase de las vacas lecheras, puedo saber si tengo el mismo número de lacitos rojos que de vacas lecheras colocándole un lacito rojo a cada vaca lechera. Así que tener el mismo número de miembros para dos clases significa que sus elementos pueden ser puestos en correspondencia uno-a-uno. ¿Y qué hay del número 0? Este es definido como la clase de todas las clases cuyos elementos no son idénticos a sí mismos.

De la filosofía de la matemática de Frege se dice que es platonista y no sin razón. Para Frege, los números (y las clases) son entidades reales, subsistentes por sí mismas. Por otra parte, cuando en un enunciado asignamos un número estamos expresando algo acerca de un concepto. El sentido en que un número es un objeto no es el sentido en el que lo es una plancha, más bien que es un objeto quiere decir que no es una propiedad de otra cosa. Por otra parte, para Frege los conceptos son independientes de las mentes individuales. Así que los enunciados numéricos informan de algo objetivo. Citaremos a Frege: «si yo digo «Venus tiene 0 lunas», simplemente no existe una luna o una aglomeración de lunas que pueda ser afirmada de algo; pero lo que sucede es que se asigna una propiedad al concepto «luna de Venus», a saber, la propiedad de incluir nada bajo él. Si yo digo «la carroza del káiser está tirada por cuatro caballos», entonces asigno el número 4 al concepto «caballo que tira de la carroza del káiser»».

La bomba oculta en el principio de abstracción

Frege (al igual que otros matemáticos de su época) se comprometió con el principio de abstracción, el cual es fundamental en su definición de número. Según este principio, todo predicable define un conjunto. Sin embargo, Bertrand Russell descubrió que había propiedades que no definían conjuntos, formulando así su famosa paradoja. Russell construyó el siguiente ejemplo: primero, definió los conjuntos normales como aquellos que no se pertenecen a sí mismos y los anormales como aquellos que se pertenecen a sí mismos. Y se preguntó si existe el conjunto de todos los conjuntos normales. Bien, si este conjunto existe, ¿es normal o anormal? Si es normal, no se pertenece a sí mismo, sin embargo, puesto que es el conjunto de los conjuntos normales, se pertenece a sí mismo, de modo, que el conjunto de los conjuntos normales si es normal, es anormal. Pero, entonces, ¿será anormal? Si es anormal, entonces se pertenece a sí mismo, pero si se pertenece a sí mismo, debe ser normal, pues es el conjunto cuyos elementos son los conjuntos normales y solo ellos. Así que si es anormal, es normal, lo que es insostenible.

Con respecto a la definición de número de Frege, ocurre que la definición del número en términos de clases de clases se compromete evidentemente con el principio de abstracción, el cual está a la base de la definición.