Curso de lógica (VIII). Teoría de conjuntos (II): la relación de inclusión y el conjunto vacío

En el anterior post dedicado a nuestro curso de lógica introdujimos la teoría de conjuntos, con un post dedicado a definir la noción de conjunto. En este capítulo vamos a dedicarnos a explicar una relación entre conjuntos, a saber, la relación de inclusión. Después hablaremos del conjunto vacío.

El conjunto vacío

1. La relación de inclusión

Como hemos dicho más arriba, la relación de inclusión es una relación entre conjuntos. Dados los conjuntos A y B, se dice que A es un subconjunto de B o que A está incluido en B, en símbolos A ⊆ B, siempre que todo elemento de A sea un elemento de B, es decir

A ⊆ B si y solo si para todo objeto x, si x ∈ A, entonces x ∈ B

Dados un conjunto A, B y C, hemos de hacer las siguientes observaciones respecto de la relación de inclusión:

1. A ⊆ A, es decir, todo elemento de A, pertenece a A (la relación de inclusión es reflexiva).

2. Si A ⊆ B y B ⊆ C, entonces A ⊆ C, esto es, si todo elemento de A pertenece a B y todo elemento de B pertenece a C, entonces todo elemento de A pertenece a C (la relación de inclusión es transitiva).

3. Si A ⊆ B y B ⊆ A, entonces A = B, o sea, que si todo elemento de A pertenece a B y todo elemento de B pertenece a A, entonces A y B son el mismo conjunto (la relación de inclusión es antisimétrica).

Cuando se da el caso de que A ⊆ B y A ≠ B, entonces decimos que A es un subconjunto propio de B y lo expresamos así: A ⊂ B. Para expresar que A no es subconjunto de B, lo hacemos así A ⊆/ B. Dada la definición de la relación de inclusión, hay que tener presente que

A ⊆/ B si y solo si hay al menos un objeto tal que x ∈ A y x ∉ B.

Por otra parte, hemos de tener claro que la relación de inclusión y la relación de pertenencia no son la misma. Se puede ver con un ejemplo:

(1) Rocinante es un caballo.

(2) Los caballos son mamíferos.

En (1) se está diciendo que Rocinante, a, pertenece al conjunto de los caballos: a ∈ A, mientras que en (2) se dice que el conjunto de los caballos, C, está incluido en el conjunto de los mamíferos, M: C ⊆ M.

2. El conjunto vacío

Existen conjuntos que no tienen elementos, tales como el conjunto de los círculos cuadrados, el conjunto de los unicornios o el conjunto de los huevos de gallo. Dado que todos poseen los mismos elementos, es decir, ninguno, todos son el mismo conjunto, a saber, el conjunto vacío. Se simboliza así: «Ø». Se trata del único conjunto sin elementos. Para definir el conjunto vacío podemos utilizar una propiedad que ningún objeto posea, como por ejemplo ser distinto de sí mismo, de modo que podemos definir el conjunto vacío como aquel cuyos elementos son distintos de sí mismos:

Ø = {x: x ≠ x}

Sobre el conjunto vacío hemos de hacer algunas observaciones:

1. Dados A y B, si son conjuntos sin elementos, entonces no pueden ser distintos. En caso de que lo fueran implicarían, según el principio de extensionalidad, que A y B no tendrían los mismos elementos, lo cual significaría que existiría algún objeto que sería o elemento de A o elemento de B, pero esto es imposible puesto que A y B son conjuntos sin elementos.

2. No hay que confundir el conjunto vacío con el conjunto unitario del conjunto vacío, el primero no tiene elementos y el segundo tiene un elemento, el conjunto vacío. Así: Ø ≠ {Ø}.

3. El conjunto vacío es un subconjunto de todo conjunto. Así, para todo conjunto A, Ø ⊆ A. De no ser así, según el principio de inclusión, existiría un objeto x tal que x ⊆ Ø y x ⊆/ A, lo que no puede ser el caso pues, por definición, el conjunto vacío no tiene elementos.

Bibliografía:

BADESA, C., JANÉ, I., JANSANA, R. Elementos de lógica formal. Ariel Filosofía, 2000. Barcelona.