Axiomas y teoremas
En lógica y en filosofía de la matemática, de la lógica y de la ciencia, sobre todo, solemos hablar de axiomas y teoremas. Los sistemas formales están formados por axiomas y teoremas, siendo distintos tipos de proposiciones.
1. ¿Qué es un axioma?
Los axiomas son proposiciones que se dan por verdaderas, aunque no hay pruebas de su verdad, aceptándose su verdad por ser evidente. Se utiliza para deducir a partir de ella otras proposiciones. Los axiomas son el centro de los sistemas formales y de las teorías. Las proposiciones derivadas de los axiomas son los teoremas. Por ejemplo, el teorema de Pitágoras se deriva de los axiomas de la geometría de Euclides. Los axiomas son necesariamente verdaderos, esto es, verdaderos en todo mundo posible.
Dada una teoría, hay un requisito que han de cumplir las proposiciones que la forman para poder considerarla un axioma. En este caso, para poder considerar a una proposición de una teoría axiomática como axioma, ha de ser posible derivar todas las proposiciones de la teoría a partir de los axiomas de la teoría, utilizando reglas de inferencia. De este modo, los axiomas de una teoría son las proposiciones que forman parte del conjunto de proposiciones de las cuales se pueden derivar todas las demás utilizando una serie de reglas proporcionadas por la teoría.
Los axiomas son fórmulas universales (del tipo «para todo x…» o «todos los x…»), de modo que son verdaderos para cualquier interpretación posible son, además de necesarias, universales.
2. ¿Qué es un teorema?
Dentro de un sistema axiomático, un teorema es la última de las proposiciones que nos encontramos dentro de un proceso deductivo. El teorema se sigue de las proposiciones que nos encontramos dentro de esta secuencia y el resto de proposiciones de las anteriores, siendo estas axiomas. Estas se derivan a partir de la aplicación de unas reglas previamente especificadas, se trata de reglas de inferencia, las cuales nos sirven para extraer teoremas a partir de otros axiomas y teoremas. A la secuencia se le denomina prueba o derivación.
Cuando la prueba es un proceso enteramente sintáctico, sin atención a los contenidos, entonces es una prueba enteramente formal. Las computadoras son ingenios que realizan este tipo de procesos sintácticos sin tener en cuenta el contenido significativo de las proposiciones o fórmulas con las que trabaja.
Hay sistemas que nos permiten obtener teoremas sin necesidad de axiomas, como ocurre en algunos sistemas de lógica en los que se utiliza el cálculo de deducción natural. En estos sistemas se pueden derivar teoremas a partir de conjuntos vacíos de premisas.
Además de los teoremas, en matemáticas se habla de otros tipos de proposiciones tales como el corolario, el lema y la proposición. El corolario es una proposición deducible de un teorema; el lema es, a su vez, una parte de un teorema, es decir, proposiciones que presentan partes de teoremas más amplios. Por último, una proposición es una afirmación que no tiene nada que ver con ningún teorema en concreto. Un corolario, una proposición y un lema tienen menor importancia que un teorema.