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La fórmula de Barcan

Publicado por Esteban Galisteo Gámez

No es la primera vez que hablamos aquí de la fórmula de Barcan, pero nunca le habíamos dedicado un artículo completo. Esta fue introducida por Ruth Barcan Marcus, pionera de la lógica modal, en la segunda mitad de los años 40, y se trataba de un axioma que permitía incluir cuantificadores en la lógica modal. Se trata de la lógica modal cuantificada y Barcan la introdujo en tres artículos publicados en los años 1946 y 1947 en el Journal of Symbolic Logic: “A Functional Calculus of First Order Based on Strict Implication” (1946a); “The Deduction Theorem in a Functional Calculus of First Order Based on Strict Implication” (1946b) y “The Identity of Individuals in a Strict Functional Calculus of Second Order” (1947).

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La fórmula de Barcan y su conversa

La fórmula de Barcan (esquema de fórmula, en realidad) es la siguiente:

∀xLFx → L∀xFx

Y se lee como sigue: “Si todo x es necesariamente F, entonces necesariamente todo x es F”. Para entendernos, lo que la fórmula dice es que si todo objeto de un dominio tiene alguna propiedad necesaria, F, entonces necesariamente todo objeto de dicho dominio la tiene. Por ejemplo, si todos los autobuses necesariamente tienen ruedas, entonces necesariamente todos los autobuses tienen ruedas.

La conversa de la fórmula de Barcan es esta:

L∀xFx → ∀xLFx

Y se lee así: “Si necesariamente todo x es F, entonces todo x es necesariamente F”. Podemos darle una interpretación a la fórmula para verla con mayor claridad; por ejemplo, si necesariamente todo número primo es divisible por sí mismo y por el número uno, entonces todo número primo es necesariamente divisible por sí mismo y por el número uno.

La gracia de estas fórmulas (esquemas de fórmulas, en realidad) está en que son evidentemente verdaderas y por eso le sirvieron a Ruth Barcan Marcus para introducir los cuantificadores en los cálculos modales. En efecto, desde un punto de vista sintáctico, la fórmula de Barcan, así como su conversa, establece los principios para intercambiar cuantificadores (el ∀) y operadores modales (la “L” – a veces también se emplea un cuadrado), que se lee como “necesariamente” o “es necesario”.

Por otro lado, desde un punto de vista semántico, establece una relación entre dominios de mundos posibles accesibles (que se parecen al mundo actual).

Cuestiones metafísicas

El problema de la fórmula de Barcan, según el punto de vista de sus críticos, es que da cabida a la existencia de possibilia, es decir, de entidades que no existen en el mundo actual, pero que sí que existen en otros mundos posibles. Además, la fórmula de Barcan en sí misma se compromete con un esencialismo metafísico bastante discutible, pues ya el mismo esquema supone, o parece suponer, la existencia de propiedades esenciales de los individuos, es decir, propiedades que un individuo tendría en todo mundo posible.

El mayor crítico, tanto de la fórmula de Barcan en particular, como de la lógica modal cuantificada en general, fue W. v O Quine. A su crítica y a las respuestas de Ruth Barcan Marcus dedicaremos los próximos artículos.

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