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Kurt Gödel III: los teoremas de incompletitud

Publicado por Esteban Galisteo Gámez

Sin duda alguna, la aportación más importante de Gödel en términos de consecuencias filosóficas al campo de la lógica y la matemática son sus dos teoremas de incompletitud. Tales teoremas fueron formulados en un artículo de 1931 titulado “Sobre proposiciones formalmente indecidibles en los Principia Mathematica y sistemas afines”. El primero de los teoremas dice que si la aritmética es consistente, entonces es incompleta. Según el segundo teorema, si la aritmética es consistente, no se puede demostrar el teorema, expresable en el lenguaje de la aritmética, que afirma la propia consistencia de la aritmética.

teoremas de incompletitud

La consistencia de la aritmética

Como ya sabemos por nuestro anterior artículo dedicado a Kurt Gödel, el segundo de los problemas planteados por David Hilbert en el Segundo Congreso Internacional de Matemáticas de 1900 consistía en la demostración de que la matemática era consistente, esto es, que no se derivaban contradicciones de ella. Dicho teorema tenía como base una exigencia de rigor para las pruebas matemáticas que venía arrastrada desde el siglo XIX. En concreto, Hilbert se preguntó por la consistencia de los axiomas de la aritmética de Peano.

Hilbert había dado comienzo al siglo XX en matemáticas con este famoso problema, el cual no era nuevo. En efecto, a lo largo del siglo XIX los matemáticos se habían enfrascado en ofrecer pruebas relativas de consistencia de diversas teorías matemáticas. Una prueba relativa de consistencia es una que prueba la consistencia de un sistema S sobre la base de la consistencia de otro sistema S’, de modo que S es consistente solo si S’ lo es. Así, Karl Weiertrass y Richard Dedekind probaron el análisis matemático era consistente solo si la aritmética lo era; Eugenio Beltrami había demostrado, a su vez, que la consistencia de la geometría hiperbólica dependía de la consistencia de la geometría ecuclídea. Y el propio Hilbert demostró en Fundamentos de la geometría (1899) que la geometría euclídea era consistente si lo era la aritmética.

Para Hilbert había quedado claro que, en definitiva, la consistencia de las diversas teorías matemáticas remitían a la consistencia de la aritmética, de modo que la consistencia de toda la matemática podría probarse con una prueba absoluta de consistencia de la aritmética, esto es, probar que la aritmética es consistente independientemente de la consistencia de otros sistemas.

Gödel y la aritmetización de la metamatemática

El estudio matemático de los fundamentos de la matemática recibe el nombre de metamatemática. Si nos fijamos en los teoremas de Gödel que hemos enunciado al principio, veremos que tratan acerca de la aritmética. Además, en el caso del segundo, se hace referencia a una fórmula expresada en el lenguaje de la aritmética que trata sobre la propia aritmética. Para expresar enunciados sobre la aritmética (metamatemáticos) en el lenguaje de la aritmética, Gödel ideó un procedimiento bastante ingenioso: la gödelización o codificación de Gödel. Este procedimiento consiste en codificar fórmulas de la lógica de predicados y secuencias de tales fórmulas mediante números naturales.

Sin entrar en detalles, la gödelización procede como sigue: dada una fórmula en lógica de predicados, a cada signo elemental de la fórmula (paréntesis, conectivas, signos de predicado, términos, cuantificadores, etc.) se le asigna un número, siguiendo ciertas reglas. Luego, los números asociados con los signos de la fórmula se utilizan como exponentes de los 10 primeros números primos, para multiplicarlos después. El resultado obtenido es el número de Gödel que codifica la fórmula en cuestión.

La fórmula G

Dado el anterior procedimiento para codificar enunciados metamatemáticos en el lenguaje de la aritmética, Gödel procedió definir a una fórmula autorreferente G que dice de sí misma que no es un teorema de la aritmética. Se trata de un número n que codifica un enunciado que dice algo como esto: n no es un teorema de la aritmética”, una fórmula que se refiere a sí misma. Ahora bien, dada G, G o no-G deben pertenecer a la aritmética, si esta es consistente o, lo que es lo mismo, una de ellas debe ser un teorema de la aritmética. El problema surge cuando comenzamos a razonar sobre ello.

Supongamos que no-G es un teorema de la aritmética. En ese caso, dado que G dice que no es un teorema de la aritmética y suponemos que su negación lo es, el resultado es que G también lo es, lo cual es paradójico (es una paradoja similar a la del mentiroso), ya que por hipótesis no lo es. Por otra parte, si suponemos que G es un teorema de la aritmética, de nuevo incurrimos en una contradicción, puesto que G dice de sí misma que no es un teorema de la aritmética. Así que si suponemos, como hacía Hilbert, la consistencia de la aritmética, llegamos a una proposición expresable en el lenguaje de la aritmética, vía gödelización, tal que ni ella ni su negación es son demostrables, de modo tal que la aritmética no puede ser a la vez consistente y completa.

Gödel, además, definió un predicado, que dice que la aritmética es consistente, el predicado Con(AP). Ahora bien, si Con(AP) es verdadero, también debe serlo la fórmula G, pues la consistencia de un sistema S conlleva que dicho sistema no debe contener fórmulas falsas. Ahora bien, ¿qué pasa si G es verdadero? Si G es verdadero, es un teorema de la aritmética, pero entonces no es un teorema de la aritmética. De nuevo, caemos en una contradicción. De este modo, la consistencia de la aritmética no puede ser probada con solo los recursos de la aritmética, esto es, no puede haber pruebas absolutas de la consistencia de la aritmética y, por tanto, tampoco se puede probar la consistencia de la matemática.

¿Significa esto que la aritmética, y por extensión la matemática, es inconsistente? La respuesta es no. Solo significa que, suponiendo su consistencia, esta no puede ser demostrada y, por tanto, es indecidible, esto es, hay verdades dentro del sistema que con los recursos del sistema no pueden ser demostradas.

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