Curso de lógica (X): teoría de conjuntos (IV). Operaciones con conjuntos I

Con dos o más conjuntos podemos aplicar ciertas operaciones que combinando los elementos de estos conjuntos nos permiten obtener conjuntos nuevos a partir de los anteriores. En este post de nuestro curso de lógica dedicado a la teoría de conjuntos, veremos las operaciones básicas con conjuntos, así como sus propiedades.

Unión de los conjuntos A y B representada mediante diagramas de Venn

1. La unión de conjuntos

Dados dos conjuntos A y B, la unión de A y B, en símbolos, A∪B, es el conjunto cuyos elementos pertenecen a A o a B:

A∪B = {x:x ∈ A o x ∈ B}

En este caso, para todo objeto x, x ∈ A∪B si y solo si x ∈ A o x ∈ B

A continuación exponemos las propiedades de la unión, para cualesquiera conjuntos A, B y C.

1. A ∪ B = B ∪ A (la unión es conmutativa).

2. (A∪B)∪C = A∪(B∪C) (la unión es asociativa)

3. A ∪ ∅ = A

4. A ∪ A = A (la unión es idempotente)

5. A ⊆ A ∪ B y B ⊆ A ∪ B

6. Si X es un conjunto tal que A ⊆ X y B ⊆ X, entonces A ∪ B ⊆ X

7. A ⊆ B si y solo si A ∪ B ⊆ B

Para ver con claridad la operación en cuestión, veremos un ejemplo de unión de dos conjuntos. Si A = {«, 4, g, $} y B = {6,9,&,4}, A ∪ B = {«, 4, g, $,6,9,&}.

2. La intersección de conjuntos

Dados los conjuntos A y B, la intersección de A y B, en símbolos, A ∩ B, es el conjunto cuyos elementos pertenecen tanto a A como a B. Así,

A ∩ B ={x: x ∈ A y x ∈ B}

De modo que para todo objeto x, x ∈ A ∩ B si y solo si x ∈ A y x ∈ B. Veamos ahora las propiedades de la intersección, para cualesquiera conjuntos A, B y C.

1. A ∩ B = B ∩ A (la intersección es conmutativa).

2. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (la intersección es asociativa).

3. A ∩ ∅ = ∅

4. A ∩ A = A (la intersección es idempotente).

5. A ∩ B ⊆ A y A ∩ B ⊆ B

6. Si X es un conjunto tal que X ⊆ A y X ⊆ B, entonces X ⊆ A ∩ B

7. A ⊆ B si y solo si A ∩ B = A

Para comprender bien estas propiedades, veremos un ejemplo de intersección de dos conjuntos A y B. Si A = {1,3,5,7} y B = {2,4,6,7}, A ∩ B = {7}.

3. La diferencia de conjuntos

Dados los conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos A y B, en símbolos A – B, es el conjunto formado por aquellos elementos que pertenecen a A, pero no a B.

A – B {x: X ∈ A y x ∉ B}

De esta manera, para todo objeto x, x ∈ A – B si y solo si x ∈ A y x ∉ B. Las propiedades de la diferencia, como veremos a continuación, difieren de las propiedades de la unión y la intersección.

1. La diferencia no es conmutativa.

2. La diferencia no es asociativa.

3. A – ∅ = A, ∅ – A = ∅

4. A – A = ∅

5. A – B ⊆ A y (A – B) ∩ B = ∅

6. Si X es un conjunto tal que X ⊆ A y X ∩ B = ∅, entonces X ⊆ A – B

7. A ⊆ B si y solo si A – B = ∅

Hemos de aclarar qué quiere decir que la diferencia no es conmutativa. Esto significa, ni más ni menos, que existen conjuntos A, B tales que A – B ≠ B – A. Así, si A = {1,2} y B = {2,3}, entonces {1,2} – {2,3} = {1} pero {2,3} – {1,2} = {3}.

Por su parte, que la diferencia no es asociativa, significa que hay conjuntos A, B, C tales que (A – B) – C ≠ A – (B – C). De este modo, dados A = {1,2}, B = {2,3} y C {2,7}, entonces ({1,2} – {2,3}) – {2,7} = {1} pero {1,2} – ({2,3} – {2,7}) = {1,2}.

Además, hemos de tener en cuenta las siguientes dos observaciones respecto de la diferencia de conjuntos.

1. Si A = B, entonces A – B = B – A y A – B = B – A si y solo si A = B.

2. Para cualesquiera conjuntos A, B y C se cumple que (A – B) – C ⊆ A – (B – C) y que (A – B) – C = A – (B – C) si y solo si A ∩ C = ∅

Bibliografía:

BADESA, C., JANÉ, I., JANSANA, R. Elementos de lógica formal. Ariel Filosofía, 2000. Barcelona.