Curso de lógica (IX): teoría de conjuntos (III). El axioma de separación

En el anterior post dedicado a nuestro curso de lógica, vimos la relación de inclusión y el conjunto vacío. Hoy lo vamos a dedicar al axioma de separación. Este, como se verá, es una forma de poner solución a las contradicciones de la teoría de conjuntos de Cantor-Frege, la cual ser comprometía con el principio de abstracción, que llevaba a resultados paradójicos, tal y como descubrió Bertrand Russell en 1901.

1. El principio de abstracción

Según el principio de abstracción, toda propiedad determina un conjunto. Esto quiere decir que para toda propiedad Φ que imaginemos, existe un conjunto cuyos elementos tienen dicha propiedad. Esta concepción es, por supuesto, falsa. En efecto, existen propiedades que no determinan o definen conjunto alguno, esto es, que no existiría el conjunto de los elementos que tendrían la propiedad en cuestión. Lo demostraremos a continuación.

En teoría de conjuntos decimos de un conjunto que es normal si no se contiene a sí mismo, es decir, si el conjunto no es un elemento de sí mismo. Por otra parte, decimos de un conjunto es anormal, si se pertenece a sí mismo, esto es, si el conjunto es uno de sus propios elementos. Para dar ejemplos de conjuntos normales no tenemos que ir a Salamanca, basta con que reflexionemos un segundo. Sin ir más lejos, el conjunto V de las películas de Lars von Trier es un conjunto normal, puesto que V no es una película de Lars Von Trier, sino un conjunto. Sin embargo, el conjunto de los objetos abstractos, es un conjunto anormal, puesto que los conjuntos son objetos abstractos y, por tanto, el conjunto de los objetos abstractos se pertenece a sí mismo. Lo que vamos a demostrar es que la propiedad de ser normal no define ningún conjunto y que, por tanto, el principio de abstracción es falso.

Pensemos en el conjunto de todos los conjuntos normales. ¿Es un conjunto normal o anormal? Desde luego, por la definición de estos conceptos es una cosa u otra y no puede ser las dos a la vez. De este modo, partiremos de la suposición de que es un conjunto normal. En este caso, puesto que es normal debe pertenecer al conjunto de los conjuntos normales y, por tanto, se pertenecería a sí mismo, por lo que sería anormal. De modo que si es normal, es anormal, lo cual es contradictorio.

Supongamos ahora que es un conjunto anormal. Bien, si es anormal se pertenece a sí mismo, pero es el conjunto de los conjuntos normales, de modo que si es elemento de dicho conjunto es normal y no se pertenece a sí mismo. Pero de nuevo estamos en una contradicción, porque partiendo de que es anormal llegamos a la conclusión de que es normal.

Esta fue la paradoja descubierta por Russell, que pasó a llamarse paradoja de Russell. Esta paradoja dio al traste con la teoría de conjuntos de Cantor-Frege, que era atrevida y ambiciosa. En efecto, el axioma de abstracción divide el universo en dos conjuntos. Así, dada una propiedad Φ, el universo queda dividido en dos conjuntos: el de los objetos que poseen tal propiedad y el de los que no la poseen. No obstante, hoy en día se trabaja con la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, que es mucho más modesta, como veremos a continuación.

2. El axioma de separación

En lugar de dividir todo el universo en dos conjuntos a partir de una propiedad dada, en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel se divide un conjunto en dos, dada una propiedad. Así, si pensamos en la famosa propiedad Φ, dado el conjunto A, esta versión light de la teoría de conjuntos nos permite dividir A en dos conjuntos, el de aquellos elementos de A que tienen la propiedad Φ y el conjunto de los elementos de A que no la tienen. Entonces, podemos enunciar el principio de separación como sigue: Si Φ es una propiedad y A es un conjunto, existe un conjunto cuyos elementos son aquellos elementos de A que poseen la propiedad Φ.

Gracias al principio de separación, podemos obtener el conjunto vacío a partir de cualquier conjunto. Así, si pensamos en el conjunto M de los mamíferos y en la propiedad «tener motor» (Π), podemos obtener el conjunto vacío, puesto que ningún elemento de M tiene motor. Así, como hemos dicho en el párrafo precedente, a partir de M y Π obtenemos los sigguientes conjuntos: {x ϵ M : Π (x)}, por un lado y {x ϵ M : y no Π (x)}, por otro. Ahora bien, dado que ningún elemento de M tiene la propiedad Π, obtenemos que

Ø = {x ϵ M : Π (x)}, de modo que

Ø = {x ϵ M : x ≠ x} = {x ϵ M : x /ϵ x}

Por otra parte, con el principio de separación se puede construir una adaptación de la paradoja de Russell que nos permite demostrar que el universo no es un conjunto, lo que equivale a decir que no existe un conjunto cuyos elementos son todos los objetos del universo. Dado el conjunto de universal, U y dada la propiedad de ser un conjunto normal, obtenemos a partir del principio de separación el conjunto A, que es el conjunto de aquellos objetos que son conjuntos normales y pertenecen a U. Ahora bien, ¿A se pertenece a si mismo o no? Como sabemos, los conjuntos son objetos y, como tales, pertenecerían a U. Así que hemos de saber si A pertenece a A o no. Si A pertenece a A, entonces es un conjunto anormal, pero resulta que partimos de que A pertenece a A. Caemos en una contradicción: si A pertenece a A, entonces no pertenece a A. Por su parte, si A no pertenece a A, entonces es un conjunto normal y, por tanto, pertenece a A. De nuevo estamos en una contradicción, puesto que suponer que A no pertenece a A nos lleva a la conclusión de que A pertenece a A.

Bibliografía:

BADESA, C., JANÉ, I., JANSANA, R. Elementos de lógica formal. Ariel Filosofía, 2000. Barcelona.